随着技术的发展，热力学的研究已延伸到微纳米与低温领域，此时需要考虑工质与系统的量子特性。Scovil等［1］首次考虑工质的量子特性，应用量子热力学建立了量子热机模型。随后，许多学者［2-4］以不同的量子系统为工质，建立了各种正反向量子循环模型，以功率和效率作为优化目标对热机性能进行优化。
谢心怡等［5］建立了以相对论粒子为工质的量子矩形循环模型，在考虑热漏的情况下以有效功率为优化目标对循环性能进行了分析和研究。Xu等［6］建立量子奥托热机模型，考虑到粒子数的增长对不同温度比的耦合特性，计算了系统与外界间的热交换和功交换，并分析了各设计参数对效率的影响。Salamon等［7］提出了以?效率、?损失率和利润率为优化目标研究热机的性能。在文献［7］的基础上，陈林根等［8-10］ 将热经济学［11-13］的结论引入有限时间热力学，并由此建立了有限时间?经济分析法，对优化方法和优化目标进行了拓展。严子浚［14］首先将功率与效率结合起来，命名它们的乘积为有效功率，作为热机的优化目标。丁佳等［15］建立了以一维无限深方势阱中无相互作用的费米子为工质的量子狄塞尔热泵循环模型，分析了压缩比、截止比和循环性能参数之间的关系。Fahriza等［16］建立了以一维无限深势阱中无相互作用的费米子为工质的量子Lenoir循环模型，研究了压缩比与循环性能的关系。龚舒文等［17］应用有限时间热力学理论分析了包含多变过程的内可逆Lenoir循环，讨论了换热器在给定热导率和热导率分配变化两种情况下的性能参数。在换热器热导率分配变化时，得出循环功率和效率与热导率分配的特性关系以及最大功率和最佳热导率分配与多变指数的特性关系，对研究Lenoir热机的性能优化提供了理论基础。Saputra［18］建立了一个以一维无限深势阱中的单个粒子作为工质的量子Lenoir热机模型，以功率与效率为优化目标对循环的性能进行了分析与研究。刘存等［19］建立了以极端相对论粒子为工质的量子斯特林热泵循环模型，分析了循环性能和性能参数之间的关系。
在实际应用中，有时需要热机同时具有较大的功率与较高的效率，因此，本文在文献［16-18］的基础上，研究以一维无限深势阱中无相互作用的费米子为工质的量子Lenoir循环模型的有效功率最优性能。在考虑高低温热源间热漏的条件下，研究热漏系数与势阱宽度比对循环性能的影响，并以有效功率为优化目标，对该循环模型进行有效功率优化研究。
1 量子Lenoir循环
量子Lenoir循环由3个过程组成，如图1所示，其中，F为势阱壁上的力，L为势阱宽度，W为系统做功，Q为热量。循环的工质为囚禁于一维无限深势阱中的n个粒子。第一个过程为等容吸热过程，状态1到状态2势阱宽度保持不变（L2=L1），等价于经典热力学中的等容过程。因此，该过程系统对外做的功为0，内能变化量等于系统从高温热源吸入的热量。粒子的总能量表达式为：
[E=inπ2?2n22mL2Pi,n] （1）
式（1）中：n为粒子数， E为势阱总能量，i为势阱中能级的数量，m为粒子质量，[?]为约化普朗克常数，[Pi,n]为n个粒子在i能级上的分布概率。
<G:\武汉工程大学\2024\第4期\尹博今-1.tif>[W][Qin][Qout][2][1][L1=L2][L3][L][3][F]
图1 量子Lenoir热机循环F-L图
Fig. 1 F-L diagram of quantum Lenoir heat engine cycle
状态1到状态2的过程为吸热过程，状态2时粒子处于能量较高的激发态。粒子处于状态1或状态2时系统总能量可分别表示为：
[E1=π2?22mL21Si] （2）
[E2=π2?22mL21Sf] （3）
其中[Si=innPi,n,1n2]，[Sf=innPi,n,2n2]，[Pi,n,1]和[Pi,n,2]为状态1或状态2下n个粒子分别处于i个能级上的概率。
状态1到状态2的过程中系统吸收的总热量可表示为：
[Qin=π2?22mL21Sf-Si] （4）
状态2到状态3的过程为绝热膨胀过程，在此过程中系统作用在势阱壁上的力F23为：
[F23=π2?2mL3Sf] （5）
系统对外所做的总功为：
[W23=π2?2mSfL2L31L3dL=π2?22mL211-1r2Sf] （6）
其中r为势阱宽度比， r= L3/L1。
当系统处于3个状态点时，其作用在势阱壁上的力分别表示为：
[F1=π2?2mL31Si,F2=π2?2mL32Sf=π2?2mL31Sf,F3=π2?2mL33Sf]
（7）
状态3到状态1的过程为等势阱力过程，此时F3=F1，结合式（7）可得：
[SfSi=L3L13=r3] （8）
根据公式：[W31=-F1dL]，可得等压过程的总功是：
[W31=-F1L3L1dL=-π2?2mL21r-1Si] （9）
系统的内能变化量U31为：
[U31=E3E1dE=π2?22mL211-rSi] （10）
应用经典热力学公式：dU=dQ-dW，可得总放热量Qout为：
[Qout=U31+W31=π2?22mL213r-3Si] （11）
2 性能参数
热漏是指高温热源和低温热源之间直接发生热量传递。考虑热漏时，该循环的总吸热量和总放热量为：
[Qin=π2?22mL21r3-1Si+Qrτ] （12）
[Qout=π2?22mL213r-3Si+Qrτ] （13）
其中[Qr]表示热漏率，[τ]为循环周期。循环周期可由势阱宽度变化推导，一个循环周期中，势阱壁的总路程Ltotal可表示为：
[Ltotal=2L3-L1] （14）
假设势阱壁匀速运动，得到：
[τ=Ltotalv=2L3-L1v] （15）
式（15）中： [v]表示势阱宽度变化的平均速度。
效率是指输出功与吸热量的比值，表示为：
[η=WtotalQin] （16）
其中Wtotal是热机在一个循环中所做的总功，表示为：
[Wtotal=FdL=π2?22mL21r3-3r+2Si] （17）
假设热漏率[Qc]为：
[Qc=απ2?2v2mL31Sf] （18）
其中[α]表示热漏系数。因此，效率可表示为：
[η=r2+r-22αr3+r2+r+1] （19）
根据式（15）和式（17），得到功率：
[P=π2?24mL31Sivr3-3r+2r-1] （20）
从式（20）可以看出功率与热漏无关，无量纲功率可表示为：
[P*=r3-3r+22r4-r3] （21）
由式（19）和式（21）可得有效功率的表达式为：
[PE=r3-3r+22r4-r3?r2+r-22αr3+r2+r+1] （22）
3 性能分析与优化
图2（a、b）给出了势阱宽度比r和热漏系数α对无量纲功率P*、效率η以及有效功率PE的影响。由图2可知， P*-r、η-r、PE-r曲线均呈类抛物线型， P*、η以及PE均随着r的增大而先增大后减小，即存在最佳r使其存在极值。
由图2（a）可知，α对P*无影响，当r=1.646时， P*有极大值P*max=0.264 08。当α=0，且r=∞时，η极值ηmax≈1，但此时P*≈0；当α=0.02，r=5.209 5时，ηmax=0.778 1；在r较小的情况下，α的变化对η影响较小，在r较大的情况下，η随着α的增大而减小。
由图2（b）可知，当α=0.02，r=2.324时， PE极值PEmax=0.141 5。在r较小的情况下，α的变化对PE的影响较小；在r较大的情况下， PE则随着α的增大而减小。
图3（a）给出了α对P*-η性能的影响，从图3（a）中可以看出，P*-η曲线呈扭叶型，表明该循环存在两个关键状态点：（η， P*max）（ηmax， P*）。在α=0.02的条件下， P*极值P*max=0.264 08，对应的η=0.425 63，同样也存在η极值ηmax=0.778 09，对应的P*=0.107 34；
图3（b）给出了α对PE-η性能的影响，从图3（b）中可以看出， PE-η曲线呈回原点的扭叶型，表明在α一定时，该循环存在有效功率的极值PEmax和与其对应的η，同样也存在效率的极值ηmax和与其对应的PE。
在α=0.02的条件下，数值计算表明，PEmax所对应的η=0.620 46，比P*max所对应的η（0.425 63）增大了45.8%。PEmax所对应的P*=0.228 06，而P*max=0.264 08，PEmax所对应的P*比P*max减小了13.6%。根据以上分析得出，在α一定时，PE取最大值时所对应的η都大于P*取最大值所对应的η，因此，若以有效功率为优化目标，能够保证热机有较大功率的同时也能有较高的效率。
4 结 论
在考虑高低温热源间热漏的条件下，研究了势阱宽度比r与热漏系数α对无量纲功率P*、效率η以及有效功率PE的影响，具体结论如下：
（1）P*-r、η-r、PE-r的关系曲线均呈类抛物线型。存在最佳的r使得P*、η以及PE取得最大值。在r较小时，α对η、PE影响并不明显；在r较大时，α的变化对各性能参数的影响较明显。
（2）P*-η，PE-η的关系曲线均呈扭叶型。考虑热漏的情况下，在α较小时，α对P*与η的影响不明显，但该影响随着α的增大而增大。
（3）在α一定的情况下，PE取最大值时所对应的η始终大于P*取最大值所对应的η。在最大有效功率准则下设计的热机虽然牺牲了部分输出功率，但是提高了热机的效率，因此以有效功率为优化目标能实现功率与效率的最佳折中。
在此研究的基础上，还可以建立以相对论粒子、四次方势阱粒子、广义势阱粒子等为工质的循环模型，研究其功率、效率、有效功率最优性能。结合本文与文献［20］可以建立量子热声制冷机循环模型，也可建立相应的量子热声热机与制冷机循环模型，以不同的目标函数研究其最优性能。