《武汉工程大学学报》 2014年02期
49-55
出版日期：2014-02-28
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
单层厚壁圆筒爆破压力的分布规律与参数
0引言单层厚壁圆筒是超高压容器的主要类型，也是人造水晶、粉末冶金、低密度聚乙烯生产中的关键设备.目前，工程上把单层厚壁圆筒的爆破压力视为确定量，采用福贝尔(Faupel)公式计算并确定圆筒的壁厚［12］.文献［2］指出福贝尔公式的计算误差为±15%左右；文献［3］对提高公式精度进行了有益探索，按组合与置换现有公式的方法，建立了6个新公式.圆筒制造材料的屈服与抗拉应力、圆筒的几何尺寸等因素存在随机不确定性［4］，考虑这些因素的随机不确定性，探索得到精度高的公式，是建立压力容器可靠性设计方法必须研究的课题，分析厚壁圆筒爆破压力分布规律与分布参数是其中的一项基础工作［59］.文中以福贝尔公式与有代表性的3个新公式［3］为研究对象，基于单层厚壁圆筒爆破压力的30组试验数据，应用似然分析理论与方法［5,10］，对厚壁圆筒爆破压力的分布规律与参数分布区间进行研究，解决了建立厚壁圆筒可靠性设计方法的一个基础问题.1基础理论1.1爆破压力计算公式计算厚壁圆筒爆破压力的福贝尔公式为ub1=23σbγ(2-γ)lnK(1)式（1）中，K为径比(圆筒外直径与内直径之比)；γ为圆筒材料屈强比，γ=σs/σb；σs、σb分别为圆筒材料的屈服与抗拉强度，MPa.三个计算厚壁圆筒爆破压力的新公式为［3］ub2=2σb3γ\[1+(1-γ)(2-γ)\]lnK(2)ub3=σb3\[2-(1-γ)2\]lnK(3)ub4=σb31+3-(1-γ)22lnK(4)1.2爆破压力的分布规律与分布参数为分析爆破压力的分布规律与参数，以及研究公式的精度，定义如下具有统计性质的随机变量.ri=Pbubi(i=1,2,3,4)(5)式（5）中，ri为式中i的随机变量；Pb为爆破压力的实测值，MPa；ubi为爆破压力式中i的理论值，MPa.对于每个试验数据，根据式(1)~(4)，可得到:ri,j=Pbjubi,j(j=1,2,…,m)(6)式（6）中，Pbj为第j个圆筒爆破压力的实测值，MPa；ubi,j为式(i)计算第j个圆筒爆破压力的理论值，MPa；ri,j为式中i对第j个数据的统计值；m为试验数据个数.对m个试验数据进行统计，可得到ri的准确度、精密度及变异系数ri=1m∑mj=1ri,j(7)Sri=1m-1∑mj=1(ri,j-ri)2(8)Cri=Sriri(9)式(7)~(9)中，ri、Sri、Cri分别为ri的准确度、精密度与变异系数. 如果把爆破压力的理论值ubi作为确定量，根据式(5)可知，爆破压力Pb与ri分布规律相同，但是两者的分布参数不同.第2期袁小会，等：单层厚壁圆筒爆破压力的分布规律与参数武汉工程大学学报第36卷1.2.1分布规律的假设检验对随机变量ri分布规律进行假设检验的具体方法是［5,10］：①假设ri基本符合正态分布.②由数据个数m，把ri,1、ri,2、…、ri,m分为M个区间，M=1+3.3lg m，并取整数；对于M个区间的统计数据，其自由度为f=M-1-2 ，若取显著度为δ，则皮尔逊统计量的允许值χ2f,δ由自由度与显著度查得［10］.③对于符合正态分布的随机变量ri，其统计量ri,j落在分组区间［ai,t，ai,t+1］内的理论概率为： pi,t=ai,t+1-riSri-ai,t-riSri(10)式(10)中，ai,1=(ri,j)min，ai,M+1=(ri,j)max，其中(ri,j)min 、(ri,j)max分别为ri,j中的最小与最大值.④计算每个分组区间实际频数(Ni,t)与理论频数(m·pi,t)差异的皮尔逊统计量之和，即计算：χ2i,σ=∑Mt=1(Ni,t-m·pi,t)2m·pi,t(11)⑤检验.若 χ2i,σ≤χ2f,δ，则在显著度为δ时，假设成立，否则假设不成立.1.2.2分布参数的取值区间如果ri基本符合正态分布，在双侧置信度为(1-α)时，ri的均值、标准差与变异系数的分布区间为［10］μri∈μlri,μuri=ri-tm-1,1-0.5αSrim-1,+tm-1,1-0.5αSrim-1(12)σri∈σlri,σuri=Srimχ2m-1,0.5α,Srimχ2m-1,1-0.5α(13)Cri∈Clri,Curi=Srimχ2m-1,0.5αri+tm-1,1-0.5αSrim-1,Srimχ2m-1,1-0.5αri+tm-1,1-0.5αSrim-1(14)式(12)~(14)中，μri、σri与Cri分别为ri的均值、标准差与变异系数；tm-1,1-0.5α为单侧置信度为(1-0.5α)时的t分布系数；χ2m-1,1-0.5α,χ2m-1,0.5α 分别是单侧置信度为(1-0.5α)与0.5α时的分布系数.上标l与u分别表示分布参数在一定置信度下的较小值与较大值.工程上一般取δ=0.05与α=0.02，文中所用的t分布系数与χ2系数如表1所示［10］.表1t与χ2系数Table 1 Coefficient of t and χ2系数χ23,0.05t29,0.99χ229,0.99χ229,0.01t27,0.99χ227,0.99χ227,0.01取值7.815 2.462 14.256 49.588 2.473 12.879 46.963 由于Pb与ri分布规律相同，根据式(5)与式(12)~(14)可知，在双侧置信度为(1-α)时，Pb的均值 μPb、标准差与变异系数的分布区间为 μPb∈［μlPb,μuPb ］=［μlriubi,μuriubi］(15)σPb∈［σlPb,σuPb ］=［σlriubi,σuriubi］(16)CPb∈［Clri,Curi ］(17)式（15）~（17）中，μPb、σPb、CPb分别为Pb的均值、标准差与变异系数. 2爆破压力的分布规律与分布参数2.1爆破压力的分布规律如果不考虑端部效应对厚壁圆筒爆破压力的加强作用，文献［2，1113］提供了径比范围为1.33~4.71，圆筒材料屈强比范围为0.402 7~0.885 2的30个爆破压力试验数据；圆筒材料抗拉应力、屈强比与数据来源如表2所示.对式(1)~(4)精度的计算结果如表3所示.根据分布规律的上述假设检验方法，假设ri (i=1,2,3,4)基本符合正态分布，根据30个试验数据，把ri,1、ri,2、…、ri,30分为6个区间(因为1+3.3lg30=5.87)，其自由度为f=6-1-2=3 ，取显著度δ=0.05，由表1可知，皮尔逊统计量的允许值χ23,0.05=7.815.每个分组区间实际频数(Nj)与理论频数(m·pj)差异的皮尔逊统计量之和如表4所示.表2试验容器数据Table 2Data of test vessel序号抗拉强度σb/MPa屈强比γ数据来源序号抗拉强度σb/MPa屈强比γ数据来源1~31037.550.885 2文献［11］ 11 630.850.680 8文献［2］4859.800.879 3文献［12］ 12~13483.200.588 7文献［13］5949.790.875 0文献［2］ 14470.930.521 0文献［2］6726.890.789 4文献［2］ 15516.060.510 2文献［2］7735.160.757 0文献［2］16~28455.050.499 7文献［2］8727.930.722 2文献［2］29551.890.426 4文献［2］9721.040.704 8文献［2］30618.030.402 7文献［2］10623.410.682 4文献［2］表3四个公式的统计计算Table 3Statistical calculation of four formulas 序号径比K实测爆破压力Pbj/MPa爆破压力理论值ubi,j与ri,j公式(1)公式(2)公式(3)公式(4)ub1,j/MPar1,jub2,j/MPar2,jub3,j/MPar3,jub4,j/MPar4,j1234567891011121314151617181920212223242526272829302.282.282.05 1.752.753.694.711.752.742.492.441.4222.802.432.751.571.331.992.292.661.782.901.882.483.182.133.603.722.762.75935.00942.00774.00503.00985.271 157.51 326.3406.51678.67544.31571.87167.26456.90392.73465.08213.74128.52307.51372.32414.38264.76450.23277.77395.76482.63329.57524.00544.09378.95434.07981.80981.80851.00547.501 092.11 047.31 237.8434.07766.86590.47583.58163.48478.11372.06458.19177.88112.38271.65326.81414.38225.46417.82248.21358.53455.74297.85503.32515.73434.07464.390.952 30.959 50.909 50.918 10.902 21.105 21.071 50.936 50.885 00.921 80.979 91.023 10.955 61.055 61.015 01.201 61.143 61.132 01.139 31.000 01.174 31.077 61.119 11.103 81.059 01.106 51.041 11.055 00.873 00.934 7985.92985.92858.71554.621 107.281 085.631 296.64460.30817.62635.67628.64182.77534.51429.76531.97207.34131.08316.30380.84449.69265.04489.39290.16417.48531.76347.55588.78603.85524.87568.080.948 40.955 50.901 30.906 90.889 81.066 21.022 90.883 10.830 10.856 30.909 70.915 10.854 80.913 80.874 31.030 90.980 50.972 20.977 60.921 50.998 90.920 00.957 30.948 00.907 60.948 30.890 00.901 00.722 00.764 1980.90980.90850.35551.551 100.781 071.561 276.67452.23802.65623.59616.67179.82525.89427.43530.50 207.35131.09316.33380.87449.70265.06489.43290.19417.51531.80347.58588.83603.90540.54593.140.953 20.960 30.906 0 0.912 00.895 11.080 21.038 90.898 90.845 50.872 90.839 80.930 20.868 80.918 80.876 71.030 80.980 40.972 10.977 50.921 40.998 90.919 90.957 20.947 90.907 50.948 20.889 90.901 00.701 10.731 8918.01918.01799.57516.351 030.791 010.301 207.97429.80764.71596.16589.69174.97511 70422.78526.27206.31130.43314.73378.59447.46263.72486.97288.72415.41529.12345.83585.86600.86550.42609.171.018 51.026 10.968 00.974 10.955 81.145 71.098 00.887 50.887 50.913 00.969 80.955 90.892 90.928 90.883 71.036 00.985 30.977 10.982 50.926 11.003 90.924 60.962 10.952 70.912 10.953 00.894 40.905 50.688 50.712 6基于序号1~30的30个试验数据，γ=0.402 7~0.885 2与K = 1.33~4.71ri的波动范围ri的极差准确度i精密度Sri 变异系数Cri0.873 0~1.201 60.328 61.025 00.093 720.091 430.722 0~1.066 20.344 20.918 940.072 290.078 670.701 1~1.080 20.379 10.919 430.078 460.085 340.688 5~1.145 70.457 20.946 00.089 230.094 32基于序号1~28的28个试验数据，γ=0.499 7~0.885 2与K= 1.33~4.71ri的波动范围ri的极差准确度i精密度Sri 变异系数Cri0.885 0~1.201 60.316 61.033 70.090 540.087 590.830 1~1.066 20.236 10.931 500.055 910.060 020.839 8~1.080 20.240 40.933 930.057 660.061 740.8837~1.145 70.262 00.961 450.062 920.065 44表4 爆破压力分布规律的统计数据（基于30个试验数据）Table 4Statistics of burst pressure distribution law(based on 30 test data)序号 分组区间［ai,t，ai,t+1］实际频数Ni,t理论概率pi,t理论频数m×pi,t (Ni,t-m·pi,t)2m·pi,tχ2i,σ备注123456［0.873 0，0.927 8］［0.927 8，0.982 5］［0.982 5，1.037 3］［1.0373，1.092 1］［1.092 1，1.146 8］［1.146 8，1.201 6］5736720.096 580.177 20.225 30.212 50.1390.066 752.8975.3166.7596.3754.1702.0031.5260.5342.0910.0221.9213.121×10-66.094公式(1)123456［0.722 0，0.779 4］［0.779 4，0.836 7］［0.836 7，0.894 1］［0.894 1，0.951 4］［0.951 4，1.008 8］［1.008 8，1.066 2］21613530.023 50.100 30.20 90.306 70.218 90.086 80.7053.0096.2949.2016.6562.6052.3791.3410.0141.5670.3690.0605.730公式(2)123456［0.701 1，0.764 3］［0.764 3，0.827 5］［0.827 5，0.890 7］［0.890 7，0.953 8］［0.953 8，1.017 0］［1.017 0，1.080 2］20612730.021 10.097 250.234 70.314 30.222 50.087 320.6342.9157.0419.4296.6752.6202.9432.9150.1540.7010.0160.0556.784公式(3)123456［0.688 5，0.764 7］［0.764 7，0.840 9］［0.840 9，0.917 1］［0.917 1，0.993 3］［0.993 3，1.069 5］［1.069 5，1.145 7］20715420.019 10.097 80.255 50.327 60.214 30.070 90.5720.2937.6659.8286.4292.1303.5660.2930.0582.7220.9187.971×10-37.565公式(4)由表4可知：当用式(1)~(4)计算厚壁圆筒容器爆破压力时，其χ21,σ=6.094，χ22,σ=5.730，χ23,σ=6.784,χ24,σ=7.565,均小于临界值7.815，表明r1，r2，r3与r4基本符合正态分布；由式(5)可知，在显著度为0.05时，厚壁圆筒容器爆破压力Pb也基本符合正态分布.2.2 爆破压力分布参数的取值区间由于超高压厚壁圆筒制造材料屈强比较大［2］，因此，可把表2中序号为1~28的28个试验数据进行统计分析，其数据一并列入表3；此时容器材料屈强比范围为0.499 7 ~ 0.885 2，径比范围为1.33~4.71.在双侧置信度为98%时，把表1、表3中的数据代入式(12)~(14)，得到r1~r4的均值、标准差与变异系数范围，如表5所示.当用式(1)~(4)计算厚壁圆筒爆破压力时，Pb基本符合正态分布，把表5数据代入式(15)~(17)，在双侧置信度为98%时，可得到厚壁圆筒爆破压力Pb分布参数的取值区间，如表6所示.表5r1，r2，r3与r4分布参数的取值区间（双侧置信度为98%）Table 5Distribution parameter intervals value of r1,r2,r3 and r4 (bilateral confidence of 98%)公式适用范围参数公式(1)公式(2)公式(3)公式(4)γ=0.402 7~ 0.885 2与K=1.33~4.71均值μlri~μuri 标准差σlri~σuri 变异系数Clri~Curi 0.982 15~1.067 850.072 90~0.135 950.068 27~0.138 430.885 89~0.951 990.056 23~0.104 870.059 07~0.118 380.883 56~0.955 300.061 03~0.113 820.063 89~0.128 820.905 21~0.986 790.069 40~0.129 440.070 33~0.142 99γ=0.499 7~0.885 2与K=1.33~4.71均值μlri~μuri 标准差σlri~σuri 变异系数Clri~Curi 0.990 61~1.076 790.069 91~0.133 500.064 92~0.134 770.904 89~0.958 110.043 17~0.082 440.045 06~0.091 100.906 49~0.961 370.044 52~0.085 020.046 31~0.093 790.931 50~0.991 400.048 58~0.092 770.049 00~0.099 60表6爆破压力分布参数的取值区间（双侧置信度为98%）Table 6Distribution parameter intervals value of burst pressure(bilateral confidence of 98%)公式适用范围参数公式(1)公式(2)公式(3)公式(4)γ=0.402 7~0.885 2与K=1.33~4.71 μPbσPbCPb(0.982 15~1.067 85)ub1(0.072 90~0.135 95)ub10.068 27~0.138 43(0.885 89~0.951 99)ub2(0.056 23~0.104 87)ub20.059 07~0.118 38(0.883 56~0.955 30)ub3(0.061 03~0.113 82)ub30.063 89~0.128 82(0.905 21~0.986 79)ub4(0.069 40~0.129 44)ub40.070 33~0.142 99γ=0.499 7~0.885 2与K=1.33~4.71 μPbσPbCPb(0.990 61~1.076 79)ub1(0.069 91~0.133 50)ub10.064 92~0.134 77(0.904 89~0.958 11)ub2(0.043 17~0.082 44)ub20.045 06~0.091 10(0.906 49~0.961 37)ub3(0.044 52~0.085 02)ub30.046 31~0.093 79(0.931 50~0.991 40)ub4(0.048 58~0.092 77)ub40.049 00~0.099 603爆破压力计算公式的精度比较3.1精度指标设计公式的精度是指公式的计算值与试验数据(真值)之间的接近程度，可采用差值法或者比值法研究公式精度，均值与变异系数是分析设计公式精度的重要指标［14］.①爆破压力Pb的均值.Pb均值的范围为(μlri~μuri)ubi，均值与ubi越接近，表明公式的准确度越高.由于(μlri~μuri)ubi-ubi=［(μlri-1)~(μuri-1)］ubi，因此，当μlri和μuri与“1”越接近，表明公式的精度越高.②爆破压力Pb的变异系数.Pb的变异系数Cri是反映Pb稳定性最重要的参数，此值越小，表明Pb变异程度小，公式的精度越高.3.2公式精度比较①由表6及以上分析可知，当K=1.33~4.71时，如果把式(1)~(4)的应用范围从γ=0.402 7~0.885 2改变为γ= 0.499 7~ 0.885 2，公式(1)~(4)的精度分别有所提高.因此，适度改变应用范围，可提高公式精度.②由表5、表6及以上分析可知，当式(1)~(4)的应用范围为γ=0.402 7~0.885 2与K=1.33~4.71时，均值的精度依次由式(1)(4)(2)(3)从高到低，变异系数的精度依次由式(2)(3)(1)(4)从高到低；当式(1)~(4)的应用范围缩小为γ= 0.499 7~0.885 2与K= 1.33~4.71时，均值的精度依次由式(1)(4)(3)(2)从高到低，变异系数的精度依次由式(2)(3)(4)(1)从高到低.因此，在应用范围相同时，公式(1)~(4)的精度指标互有优劣，似存在精度比福贝尔公式(1)高的公式.4结语1)考虑容器制造材料的屈服与抗拉应力、容器的几何尺寸等因素存在的随机不确定性，基于30个单层厚壁圆筒的试验数据，采用似然分析理论与方法，对四个计算单层厚壁圆筒爆破压力的公式进行比较分析，为厚壁圆筒爆破压力的可靠性分析提供了基础数据.2)对于K=1.33~4.71与γ=0.402 7~0.885 2的单层厚壁圆筒，在显著度为0.05时，其实测爆破压力与福贝尔公式(1)及式(2)~(4)的理论值之比，是基本符合正态分布的随机变量；在双侧置信度为98%时，得到该随机变量的均值、标准差与变异系数的取值区间.3)如果公式(1)~(4)的应用范围为γ=0.402 7~0.885 2与K=1.33~4.71的单层厚壁圆筒，均值的精度依次由式(1)、(4)、(3)、(2)从高到低，变异系数的精度依次由式(2)、(3)、(1)、(4)从高到低.4)如果适度改变公式的应用范围，对于γ=0.499 7~0.885 2与K=1.33~4.71的单层厚壁圆筒，公式(1)~(4)的精度会相应提高；在此应用范围内，均值的精度依次由式(1)、(4)、(3)、(2)从高到低，变异系数的精度依次由式(2)、(3)、(4)、(1)从高到低.5)适度改变应用范围，可提高设计公式精度；在应用范围相同时，公式(1)~(4)的精度指标互有优劣，似存在精度比福贝尔公式高的公式.致谢感谢湖北省教育厅科学技术研究项目组, 武汉市创新人才开发资金重大创新专项团队对本研究的支持与帮助.